一个小镇上即将进行大选,候选人有 m ≥ 3 个,选民一共有 n 人。选举时,每个选民在选票上写下一个候选人的名字,然后由计算机根据某种选举机制算出大选的获胜者来。如果把 n 个选民的选票依次记为 x1, x2, …, xn 的话,那么选举机制的算法其实就是一个映射到 1, 2, …, m 的函数 f(x1, x2, …, xn) 。

    为了保证选举程序的公平性,让每个人手中的选票都能发挥作用,政府提出了“差异性原则”:如果每个人的选票都变了,那么竞选的获胜者也应当改变。也就是说,如果对于所有的 i 都有 xi ≠ yi ,那么必有 f(x1, x2, …, xn) ≠ f(y1, y2, …, yn) 。选票系统的算法虽然不是透明的,但政府保证,这个算法满足差异性原则。

    差异性原则真的能够保证,每个选民的选票都有足够的权力吗?不是。差异性原则看似很强,但实际情况则是,它不但不能保证每张选票都能影响选举结果,甚至还无法避免有选民独裁选举结果的现象发生。更不可思议的是,事实上独裁现象是必然会发生的——独裁是差异性原则的必然推论!下面我们将证明,对于任意一种满足差异性原则的选票算法,我们都能找到这样一个选民,他的选票独裁了选举结果,获胜者是谁完全由他的选票决定,与其他人的选票无关。


    为了便于叙述,我们假设有 6 个选民,有 4 个候选人。因此,选票算法相当于是一个把所有仅由数字 1 到 4 组成的全部 46 个 6 位数映射到 1, 2, 3, 4 的一个函数。我们不妨把这些 6 位数看作是由所有可能的前 5 位数加上最后一位数得来的。

    让我们先来考虑这样一种情形:在所有可能的前 5 位数中,存在一个 5 位数,它后面加上 1 、 2 、 3 、 4 后所对应的获胜者各不相同。不妨假设这个前 5 位数是 14232 吧。也就是说,当 i 取 1 到 4 时, 14232i 正好对应了所有可能的获胜者。下面,我们任意选取另外一个 5 位数组合 x1x2x3x4x5 , 使得它的每一位数字正好都和 14232 上对应位置的数字不同。考虑 x1x2x3x4x51 所对应的获胜者,它必然和 142321 、 142322 、 142323 、 142324 之一相同;但根据差异性原则,它和 142322 、 142323 、 142324 都不同,因而只可能是和 142321 相同。同理, x1x2x3x4x52 所对应的获胜者也就和 142322 相同,事实上对于每个 i , x1x2x3x4x5i 所对应的获胜者与 14232i 都完全一致。

    我们还可以继续推出,事实上,对于任意的前 5 位数组合 y1y2y3y4y5 都有,对于每个 i , y1y2y3y4y5i 所对应的获胜者都与 14232i 完全一致。为了看出这一点,我们只需要精心选取一个适当的前 5 位数 x1x2x3x4x5 ,使得它和 14232 、 y1y2y3y4y5 对应位置上的数字都不相同。由前面的推理, x1x2x3x4x5i 所对应的获胜者已经与 14232i 一致了,根据同样的道理,y1y2y3y4y5i 所对应的获胜者又依次与 x1x2x3x4x5i 相同,如此一“传递”便证明了任意 5 位数 y1y2y3y4y5 都与 14232 拥有完全相同的效力。

    也就是说,选举结果与前 5 个人的选票无关,完全被最后一个人的选票独裁了。

 
    接下来,我们来考虑另一种情形:对于所有可能的前 5 位数 x1x2x3x4x5 ,当 i 从 1 取到 4 时,在 x1x2x3x4x5i 当中都至少有两个相同的获胜者。下面,我们任选一个前 5 位数组合,比方说 12314 吧,然后给前 5 个人定义 4 个新的选票算法 gk (这里 k 可以取 1 、 2 、 3 、 4 中的任意一个):当 y1y2y3y4y5 ≠ 12314 时, gk(y1y2y3y4y5) 就等于 y1y2y3y4y5i 当中重复出现的那个获胜者;当 y1y2y3y4y5 = 12314 时,就让 gk(y1y2y3y4y5) 等于 y1y2y3y4y5k 所对应的获胜者。注意到,每一个选票算法 gk 同样满足差异性原则。这是因为,任取每位数字都不相同的两组选票 a1a2a3a4a5 和 b1b2b3b4b5 ,我们可以假设 a1a2a3a4a5 在 gk 中所对应的获胜者也就是原来的选票算法中 a1a2a3a4a5m 所对应的获胜者(即使 a1a2a3a4a5 恰好等于 12314 ),其中 m 是某个 1 到 4 之间的数。那么, b1b2b3b4b5 就不可能再等于 12314 了,因而,一定存在某个 p 和 q ,使得 b1b2b3b4b5 在 gk 中对应的获胜者和原选票算法中的 b1b2b3b4b5p 、 b1b2b3b4b5q 都相等。其中, p 和 q 必有一个与 m 不同,比如说 p 吧。那么在原选票算法中,由差异性原则, b1b2b3b4b5p 和 a1a2a3a4a5m 对应了不同的获胜者。因而在 gk 中, b1b2b3b4b5 和 a1a2a3a4a5 也对应了不同的获胜者。

    但是 g1 、 g2 、 g3 、 g4 这四个选票算法其实只有一个差别: 12314 所对应的获胜者不同。两个满足差异性原则的选票算法怎么可能å

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